[통계 이론] 기초통계 : t 검정

 정보

• 업무명     : 기초통계 : 표본분산과 비편향 분산

• 작성자     : 박진만

• 작성일     : 2020-04-14

• 설   명      :

• 수정이력 :

 

 내용

[개요]

 

[특징]

• 통계이론 설명

 

[활용 자료]

• 없음

 

[자료 처리 방안 및 활용 분석 기법]

• 없음

 

[사용법]

• 내용 참조

 

 

 상세 내용

[t 검정]

• t 검정은 표본 데이터에서 t 값이라 불리는 통계를 계산하고 t 값을 이용하여 두 그룹 간의 모평균에 차이가 있는지를 검정하는 방법이다.

• \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\)을 평균 μ와 분산 σ2 인 정규 분포를 따르는 확률 변수라고 할 때, t 값은 표본 평균 \(\bar{X}\) 및 표본 불편 분산 \(S^{2}\)을 사용하여 아래와 같이 놓을 수 있다.

• 샘플 크기 n이 작을 때, t는 자유도 n - 1 의 t 분포에 따라

 

 

• 그러면 t 분포를 이용하여 모평균의 신뢰 구간을 구할 수있다. 예를 들어, 샘플 크기가 클 때의 모평균의 구간 추정과 동일한 단계에서 작은 샘플 크기의 경우 모평균은 확률 α로 다음 범위 내에.

 

 

• 이것을 이용하여 표본 평균과 모평균의 차이를 검정하고, 두 그룹 간의 모평균의 차이를 검정 할 수있게된다.

 

[단일 표본 : 귀무가설]

• 귀무가설이란 모집단으로부터 n 개의 표본 X1, X2, ..., Xn을 독립적으로 추출했을 때, n 개의 표본을 사용하여 그 모집단의 평균이 μ인지 여부를 검정하는 방법이다.

• 여기에서 검정을 수행하기 위해 귀무 가설 H0 를 "표본 평균 \(\bar{X}\)가 모평균 μ와 동일하다고 가정한다.

 

 

• 여기서 \(\bar{X}=\mu\)를 하는 이유는 이 가설이 일어날 수있는 사례가 단 한 가지 밖에 없기 때문이다. 예를 들어, \(\bar{X} \neq \mu\) 라고 가정한다면,  \(\bar{X}>\mu\)도 성립하고 \(\bar{X}<\mu\)도성립하게 된다.

• 또한 \(\bar{X}<2 \mu\)나 \(\bar{X}<3 \mu\) 같은 경우도 생각할 수있다. 따라서 \(\bar{X} \neq \mu\)를 가정하게 된다면, 다양한 케이스에 대해 검증 해야할 필요가 있다.

• 그러나 가설을  \(\bar{X}=\mu\)라고 놓는다면, \(\bar{X}=\mu\)라는 케이스만을 검증하면 충분하기 때문이다.

• 여기에서 샘플 크기가 작은 경우, 귀무 가설 H0이 맞으면 T 값은 자유도 ν = n - 1 t 분포를 따른다.

 

 

[단일 표본 : 검정과 유의수준]

• t 분포 형태에서 T 값은 0의 값을 가질 확률이 가장 높고, 또한 ± ∞ 확률도 0이 아니라는 것을 알 수있다. 

• 여기서, T ≤ -t α / 2 일 때의 확률이 α / 2, T ≥ t α / 2 일 때의 확률이 α / 2가되는 점 t α / 2 및 점 -t α / 2 에 주목해보자면, 이때 귀무 가설이 맞는 경우, 즉 표본 평균이 μ와 등가이면 표본 데이터에서 계산되는 T 값을 확률 1 - α로 -t α / 2 <T <t α / 2 의 범위에 들게 된다. 

• 예를 들면 α = 0.05 일 때 T 값은 0.95의 확률로 -t 0.025 <T <t 0.025 에 위치한다.

• 물론 -t 0.025 <T <t 0.025 이외의 값도 취할 수 있지만, 그 확률은 0.05이며 매우 작다고 놓을 수 있는 것이다.

• 그래서 T 값은 확률 1 - α로 -t α / 2 <T <t α / 2 의 범위에 들어가는 때문에 T 값이 범위 내에있을 때 귀무 가설을 보류하고, T 값이 범위 밖에있을 때 귀무 가설을 기각하고 (즉 표본 평균이 μ와 동치가 아니라고 판단하고), 기각 판정을 내릴 수있다.

• 이 때 T 값을 확률 α로 -t α / 2 <T <t α / 2 의 범위 밖에 있기 때문에 이러한 판정을 내릴 것으로, 확률 α로 판정 실수가 발생할 위험이 있다.

• 따라서 이러한 판정을 내릴 때 "위험 요소 α 하에서 귀무 가설을 기각했다 (위험 요소 α 하에서 표본 평균이 μ와 동치가 아니라고 판단했다)"의 문장을 추가 할 필요가 있다. 이 위험 요소 α는 유의 수준 이라고도 한다.

 

[R을 이용한 단일 표본에 대한 T 표본 검정]

• 다음은 R을 사용하여 표본 x의 평균이 2.0인지 여부를 판정하는 예이다.

• 먼저 T 값을 계산 한 다음 ± t α / 2 의 값을 계산하여 양자를 비교하여 판정을 내린다. 

• 이 때, 유의수준 0.05 이내에서 판정을 내려야 한다.

x <- c(3.2, 3.6, 2.9, 2.5, 3.1, 2.7, 3.0, 3.2)
n <- length(x)
t.value <- (mean(x) - 2.0) / (sd(x) / sqrt(n))
# 8.602691

err <- qt(0.975, df = n - 1) * sd(x) / sqrt(n)
mean(x) - err
# 2.743258

mean(x) + err
# 3.306742

alpha <- 0.05
t.alpha.2.n <- qt(alpha / 2, df = n - 1)
# -2.364624

t.alpha.2.p <- qt(1 - alpha / 2, df = n - 1)
# 2.364624

p.value <- 2 * pt(- abs(t.value), df = n - 1)
# 5.716248e-05

 

• 따라서 T 값 ( t.value)은 t.value> t.alpha.2.p이기 때문에 유의수준 0.05 하에서 귀무 가설을 기각 할 수 있다. 또한 R의 t.test함수를 사용하면 다음과 같이 단일 표본 t 검정을 할 수있다.

 

x <- c(3.2, 3.6, 2.9, 2.5, 3.1, 2.7, 3.0, 3.2)
t <- t.test(x, mu = 2.0)
t
# 	One Sample t-test
# 
# data:  x
# t = 8.6027, df = 7, p-value = 5.716e-05
# alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
# 95 percent confidence interval:
#  2.743258 3.306742
# sample estimates:
# mean of x
#     3.025

 

[표본이 2개인 경우에 대한 t 검정 - 분산이 같은  경우]

• 2 표본 t 검정은 두 그룹의 모평균에 차이가 있는지를 검정하는 방법이다.

• 여기에서 두 그룹을 X 그룹과 Y 그룹으로 가정한다. 또한 X 그룹의 모평균 μ X , Y 그룹의 모평균을  μ Y 로 둔다. 이때 귀무 가설을 'X 그룹의 모평균과 Y 그룹의 모평균에 차이가 없다 "고 할 수있다.

 

 

• 두 그룹의 모평균에 차이가 있는지의 여부를 검정하기 위해, 여기서 X 그룹의 표본 평균과 Y 그룹의 표본 평균의 차이에 대해 주목한다.

• 즉 모집단 X에서 표본을 추출했을 때, 해당 그룹의 표본평균인 \(\bar{X}\)는 \(\mathcal{N}\left(\mu_{X}, \sigma_{X}^{2} / n_{X}\right)\)의 분포를 따른다.

• 마찬가지로 모집단 Y에서 표본을 추출했을 때, 표본 평균\(\bar{Y}\) 는 \(\mathcal{N}\left(\mu_{Y}, \sigma_{Y}^{2} / n_{Y}\right)\)의 분포를 따른다. 

• 이 때, \(\bar{X}\) 와 \(\bar{Y}\) 가 독립이면 (다변량 결합 분포의 계산을 함으로써) 양자의 차이는 다음의 분포를 따르게 된다.

 

• 이를 표준화하면

 

 

• 샘플 크기가 작으면 Z는 자유도 n X + n Y - 2의 t 분포를 따른다.

• 여기에 작은 샘플 크기임을 나타 내기 위해 위 식에서 확률 변수 Z를 T로 바꿔 쓴다고 해 보자.

 

 

• 여기서, 모분산 σ 2 를 알 수 없기 때문에, X 그룹 및 Y 그룹의 표본에서 모집단의 불편 분산을 추정한다.

 

 

• 추정 된 모집단의 불편 분산을 확률 변수 T에 대입하면 아래의 식을 얻을 수 있다.

 

 

• 귀무 가설이 성립한다면 μ X = μ Y 이다. 따라서 귀무 가설 하에서 T는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

 

• 이와 같이 T 값이 구해지면, 그 때부터 1 표본 t 검정과 마찬가지로 가설검정을 진행할 수 있다.

 

[R을 이용하여 표본이 2개인 경우에 대한 t 검정 수행 (균등 분산의 경우)]

• R에서 2 표본 t 검정을 할 때 t.test함수에 두 그룹의 데이터를주고 실행한다. 검정시 유의 수준은 0.05로 한다.

# 	Two Sample t-test
# 
# data:  x and y
# t = -2.2788, df = 14, p-value = 0.03888
# alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
# 95 percent confidence interval:
#  -15.4324621  -0.4675379
# sample estimates:
# mean of x mean of y
#    9.4125   17.3625

alpha <- 0.05
nx <- length(x)
ny <- length(y)
t.alpha.2.n <- qt(alpha / 2, df = nx + ny - 2)
# -2.144787
t.alpha.2.p <- qt(1 - alpha / 2, df = nx + ny - 2)
# 2.144787

 

• t.test결과에서 t 값은 -2.2788이며, 이것이 -t α / 2 = -2.144787보다 작기 때문에 유의수준 0.05 하에서 귀무 가설을 기각한다. 따라서, X 그룹과 Y 그룹의 모평균이 동일하지 않은 것이 판정되었다.

 

[표본이 2개인 경우에 대한 t 검정 - 분산에 차이가 있는 경우]

• 두 그룹의 모평균에 차이가 존재하는지 여부를 검정 할 때, 두 그룹의 분산이 다른 경우에는 다음 식에 따라 T 값을 계산한다. 

• 이 때 T 값은 자유도 ν의 t 분포를 따른다.

 

 

[R을 이용하여 표본이 2개인 경우에 대한 t 검정 수행 (분산이 다른 경우)]

x <- c(20.5, 5.3, 12.4, 2.9, 12.3, 6.7, 2.1, 13.1)
y <- c(1.4, 16.1, 31.0, 10.9, 20.6, 15.7, 24.2, 28.0)

t.test(x, y, var.equal = FALSE)
## 	Welch Two Sample t-test
## 
## data:  x and y
## t = -2.2376, df = 12.026, p-value = 0.04495
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -17.909469  -0.240531
## sample estimates:
## mean of x mean of y
##    9.4125   18.4875

 

[실제 t 검정의 예시]

• t 검정은 일반적으로 처리 전과 처리 후 차이가 발생했는지 여부를 조사하는 목적으로 사용된다.

• 예를 들어, 마우스의 약제 투여 실험에서 약물 투여 전과 투여 후 심박수에 차이가 발생했는지 여부를 조사 하는 등의 목적을 들 수 있다.

개체	약제 투여 전 심박수	약제 투여 후 심박수	변화
마우스 1	591	585	-6
마우스 2	615	590	-25
마우스 3	602	583	-19
마우스 4	618	594	-24
마우스 5	596	589	-7

 

• 이 경우 처리 전과 처리 후의 심박수의 차이에 주목하여 그 차이가 0인지 여부를 단일 표본 t 검정으로 간주 할 수 있다.

before <- c(591, 615, 602, 618, 596)
after  <- c(585, 590, 583, 594, 589)

t.test(before, after, paired = TRUE)
## 
##         Paired t-test
## 
## data:  before and after
## t = 3.9595, df = 4, p-value = 0.01669
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##   4.840301 27.559699
## sample estimates:
## mean of the differences 
##                    16.2 

diff <- after - before
t.test(diff, rep(0, 5), var.equal = FALSE)
## 	Welch Two Sample t-test
## 
## data:  diff and rep(0, 5)
## t = -3.9595, df = 4, p-value = 0.01669
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -27.559699  -4.840301
## sample estimates:
## mean of x mean of y
##     -16.2       0.0

 

 

 참고 문헌

[논문]

• 없음

[보고서]

• 없음

[URL]

• 없음

 

 문의사항

[기상학/프로그래밍 언어]

• sangho.lee.1990@gmail.com

[해양학/천문학/빅데이터]

• saimang0804@gmail.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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