[통계이론] 확률분포 : 푸아송 분포

 정보

• 업무명     : 확률분포 : 푸아송 분포

• 작성자     : 박진만

• 작성일     : 2020-04-11

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 내용

[개요]

• 가설 검정 또는 수리 모델링 등으로 사용되는 확률 변수는 뭔가의 확률 분포에 따르는 것으로 가정되어 있다.

• 대표적인 확률 분포는 정규 분포, 이항 분포와 포아송 분포 등이 있다.

 

 

[특징]

• 통계이론 설명

 

[활용 자료]

• 없음

 

[자료 처리 방안 및 활용 분석 기법]

• 없음

 

[사용법]

• 내용 참조

 

 

 상세 내용

[푸아송 분포]

• 푸아송 분포는 비교적 흔하게 일어나는 사건을 해석 할 때 가장 많이 사용되는 모델이다.

• 여기서 상수 λ는 양수이다. 그리고 "특정 사건 '이 k 번 일어 났을 때의 확률 분포는 다음과 같다.

 

 

• 위 확률 함수는 이항 분포의 확률 함수에서 유도가 가능하며,  각시도가 확률 p (<< 1)에서 성공한다.

• 이 때, n 회 시행을 행하였을 때 성공 횟수 X는 아래의 확률 분포에 따른다.

 

[기대 값과 분산]

• 푸아송 분포의 기대 값은 분산과 동일한 값이다. 

• 즉, 평균값이 커지면 분산도 커진다. 예를 들어, 각 지역에서 멸종 위기 종의 개체수를 셀 때, 11 마리, 10 마리, 13 마리 등으로 개체수의 평균이 작은 경우에는 그 차이도 작다. 

• 반대로, 물고기의 무리에 포함 된 물고기의 개체수를 계산하면 22001 마리, 18930 마리, 30192 마리 등처럼 개체수의 평균이 큰 경우에는 그 차이도 크다.

 

 

[매개 변수의 최대 가능도 방법]

• 확률 변수 X가 포아송 분포를 따를 때 그 확률 질량 함수는 다음과 같이 쓸 수있다. λ> 0은 푸아송 분포의 매개 변수이다.

 

 

• 여기서, 푸아송 분포에 따라 관측 값 \(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\)가 있는 경우, 해당 푸아송 분포의 매개 변수의 최대 가능도 방법의 요구 예시를 나타낸다.

• n 개의 관측치가 각각 독립적인 경우 동시 확률 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

• 그리고 대수 우도 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

• 여기서 \(\frac{\partial l}{\partial \lambda}=0\) 을 계산하면

 

 

[모멘트 생성 함수]

 

[푸아송 분포의 재생 가능성]

 

• 일때, Y = X 1 + X 2 로 확률 변수 Y도 푸아송 분포를 따른다.

 

 

• 여기서 푸아송 분포의 매개 변수인 λ는 상수이다. 여기서 λ를 감마 분포에 의거 한 경우 푸아송 분포는 음 이항 분포가 된다.

 

 

 참고 문헌

[논문]

• 없음

[보고서]

• 없음

[URL]

• 없음

 

 문의사항

[기상학/프로그래밍 언어]

• sangho.lee.1990@gmail.com

[해양학/천문학/빅데이터]

• saimang0804@gmail.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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