[통계 이론] 기초통계 : 표본 분산과 불편 분산

 정보

• 업무명     : 기초통계 : 표본분산과 비편향 분산

• 작성자     : 박진만

• 작성일     : 2020-04-14

• 설   명      :

• 수정이력 :

 

 내용

[개요]

 

[특징]

• 통계이론 설명

 

[활용 자료]

• 없음

 

[자료 처리 방안 및 활용 분석 기법]

• 없음

 

[사용법]

• 내용 참조

 

 

 상세 내용

[표본분산과 비편향 분산]

• 분산은 표본 분산 (sample variance)과 불편 분산 (unbiased variance)의 두 종류가 존재한다. 

• 표본 분산은 표본에서 계산 된 분산이며, 모집단에 비해 표본수가 적을 때는 표본 분산이 모분산보다 작아진다. 

• 즉 표본 분산이 모집단 분산에 맞춰서 동일하게 보정 한 것을 비편향 분산이라 한다.

• 통계학에서는 이 비편향 분산을 사용하는 경우가 많다.

• n 개의 표본 \(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\) 에 대한 평균값을 \(\bar{X}\)라 할 때 표본 분산은 아래와 같이 구할 수 있다.

 

 

• 한편, 불편 분산은 아래와 같이 n 대신 n-1로 나누어 구할 수 있다.

 

 

[표본 분산과 모 분산의 오차]

• 표본 분산과 모 분산의 사이에 존재하는 오차를 계산해보자.

• 첫째로, 표본 분산의 정의식에 \(x_{i}-\bar{X}=x_{i}-\mu-(\bar{X}-\mu)\) 를 대입하고 식을 변환한다.

 

 

• 이 때, 표본 분산의 기대값을 구하면 아래와 같다.

 

 

• 한편, n 개의 데이터가 평균 μ, 분산 σ 2 인 모집단에 속하기 때문에 이때 분산은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

 

• 따라서 표본 분산의 기대값에 위 식을 대입하면 아래와 같다.

 

 

• 즉, 표본 분산 (기대 값)은 모 분산에 비해 \(E\left[(\bar{X}-\mu)^{2}\right]\) 만큼 작다.

• 여기서 표본 분산은 모 분산과 동등하지 않기 때문에 공정하지 않을 수 있다.

 

[불편분산]

• 표본 분산의 기대 값은 모집단 분산에 비해 \(E\left[(\bar{X}-\mu)^{2}\right]\) 만큼 작다.

• 따라서 표본 분산의 오차를 보정한다면 표본 데이터를 이용하여 모집단 분산을 추정 할 수 있게 된다.

• 평균 μ, 분산 σ2의 모집단 정보는 아래의 관계가 성립한다.

 

 

• 이를 표본 분산의 기대 값의 식에 대입한다.

 

 

• 따라서,

 

 

• 따라서, 표본에서 분산을 계산할 때 n으로 나누는 것이 아니라, 위 식과 같이 n-1로 나눈 것으로, 모집단 분산 σ와 동일하다.

• 여기서 n-1로 나누어 계산 된 분산을 불편 불편분산이라 한다.

• 통계 분야에서 말하는 분산은 대부분의 경우 불편 분산을 의미한다.

 

 

 참고 문헌

[논문]

• 없음

[보고서]

• 없음

[URL]

• 없음

 

 문의사항

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• sangho.lee.1990@gmail.com

[해양학/천문학/빅데이터]

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