[통계 이론] 확률분포 : 확률변수

 정보

• 업무명     : 확률분포 : 확률변수

• 작성자     : 박진만

• 작성일     : 2020-04-09

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• 수정이력 :

 

 내용

[개요]

• 가설 검정 또는 수리 모델링 등으로 사용되는 확률 변수는 뭔가의 확률 분포에 따르는 것으로 가정되어 있다.

• 대표적인 확률 분포는 정규 분포, 이항 분포와 포아송 분포 등이 있다.

 

 

[특징]

• 통계이론 설명

 

[활용 자료]

• 없음

 

[자료 처리 방안 및 활용 분석 기법]

• 없음

 

[사용법]

• 내용 참조

 

 

 상세 내용

[확률 변수]

• 확률 변수 (random variable)는 미리 알 수 없는 어떤 시도의 결과를 나타내는 변수를 뜻한다.

• 예를 들면, 주사위를 굴리는 시도에서 해당 시도의 결과는 1,2,3,4,5,6 중 하나가 된다.

• 각 시도 앞에서는 어떤 눈이 나오는지를 알 수 있기 때문에, 그것을 변수 X를 둔다.

• 그리고 시도 후 얻은 결과로 다시 대체할 수 있다.

• 예를 들어, 시도 후 6의 눈이 나온다면 X = 6으로 대체한다.

• 다른 예로서, 식물의 건조 중량을 생각할 때, 그 건조 중량에 변수 X를 둘 수 있다.

• 그리고 실제로 건조 중량을 측정하여 10.3g 이라는 결과가 나오게 되면, X = 10.3g으로 대체되게 되는 것이다.

• 따라서, 확률 변수는 이산 값과 연속 값 모두가 가능하다.

• 즉 주사위를 굴리는 시동와 동전을 던지는 시도 등의 경우는 시도 결과가 이산값이 된다. 

• 한편, 신장과 체중을 측정하는 시도 등의 경우는 시도 결과가 연속 값이 된다.

• 확률 변수 X가 값을 가질 확률 함수의 형태로 되는 것을 확률 질량 함수나 확률 밀도 함수라고 한다.

• 예를 들어, 주사위를 던질 때 각 1,2,3,4,5,6의 눈이 나올 확률은 모두 1/6이다. 즉

\[P(X=1)=P(X=2)=\cdots=P(X=6)=\frac{1}{6}\]

• 이 때, P (X) 를 확률 질량 함수라고 한다. 이와 반대로 X가 연속값인 경우 각 값을 취할 확률 함수의 형태로 되는 것을 확률 밀도 함수라고 한다.

 

[확률 질량 함수 (probability mass function)]

• 수열 \(\left\{p_{n}\right\}\)이 있고, \(k \geq 0\),  \(p k \geq 0\)이며, \(\Sigma_{k=0}^{\infty} p_{k}=1\) 일 때

\[\begin{array}{l}
p_{k}=P(X=k) \\
k=0,1,2, \ldots
\end{array}\]

• 여기서 \(p_{k}(k=0,1,2, \ldots)\)를 X의 확률 질량 함수라고 한다. 

• 또는 단순히 확률 함수 (probability function)라고도한다. 

• 예를 들어, 함수 pk 는 X가 k의 값을 가질 때의 확률을 나타낸다.

• 또한 확률 변수 X가 k 이하의 값을 가질 때의 확률의 합을 나타내는 함수의 수를 누적 분포 함수 (cumulative distribution function)라고한다.

• 또는 단순히 분포 함수 (distribution function)라고도 한다.

\[F(k)=P(X \leq k)=\sum_{i \leq k} p(i)\]

 

[확률 밀도 함수 (probability density function)]

• 확률 변수가 \((-\infty, \infty) \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1\) 일 때

\[P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x) d x\]

• 여기서, f (x)를 X의 확률 밀도 함수라고 한다.

• 또한,

\[F(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t\]

• 이 경우에는 F(x)를 X의 누적 분포 함수라고 한다.

 

 

 

 참고 문헌

[논문]

• 없음

[보고서]

• 없음

[URL]

• 없음

 

 문의사항

[기상학/프로그래밍 언어]

• sangho.lee.1990@gmail.com

[해양학/천문학/빅데이터]

• saimang0804@gmail.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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