[자격증] 기상기사 필기: 2과목 대기열역학 (열역학 법칙)

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• 업무명     : 기상기사 핵심이론 소개

• 작성자     : 박진만

• 작성일     : 2019-12-07

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 내용

[핵심이론 01] 열역학 제 1 법칙

• 열역학 제1법칙

• $dQ=dU+dW\Rightarrow dq=du+dw$ (단위 질량에 대해 고려할 경우)

  • 기체로 이루어진 어떤 계에 열에너지 $dQ$가 가해질 경우, $dU$는 계의 내부에너지(Internal Energy)의 증가, $dW$는 계가 주위에 한 일의 양을 나타낸다. 즉, 열역학 제1법칙은 에너지 보존과 열이 역학적 에너지 로 전환됨을 기술

  • $dW$를 단위 질량에 대한 일 $dw=\frac{dW}{m}$ 으로 나타내면 다음과 같다.

  • $dw=pd\alpha (dw>0)$ : 계가 주위에 대해서 일을 한 경우, $dw<0$ : 반대의 경우를 나타냄) ⇒ 위의 열역학 제1법칙 식에 대입하면

    $$dq=du+pd\alpha$$

• 비열의 2가지 종류

  • 정적 비열$\left(C_v\right)$ : 물질의 체적이 일정한 상태에서의 비 열. 즉, 팽창을 허용하지 않는 상태

    $$
    C_{v} \equiv\left(\frac{d q}{d T}\right)_{\alpha=\operatorname{const}} \cong 717 \mathrm{J} / \mathrm{kg} / \mathrm{K}
    $$

  • 정압 비열\( \left(C_{p}\right) \) : 물질의 기압이 일정한 상태에서의 비열. 즉, 팽창을 허용한 상태

    $$
    C_{p} \equiv\left(\frac{d q}{d T}\right)_{p: \text { const }} \cong 1,004 \mathrm{J} / \mathrm{kg} / \mathrm{K}
    $$

  • ※ 항상 $C_p>C_v$ : 등압 과정 하에서는 가하여진 열의 일부가 주위로 행하는 데 소요되는 반면, 등적 과정 하에서는 모든 열이 그 기체의 온도를 올리는 데 사 용될 수 있기 때문이다.

• 이상기체에 대한 열역학 제1법칙

  • $dq=C_{v}dT+pd\alpha$

    • 이상기체 상태방정식 $p\alpha =RT$를 미분하면

    • $pd\alpha +\alpha dp=RdT$ (대입)

      \( 
      $$\begin{array}{rl}\Rightarrow dq& =C_{v}dT-\alpha dp+RdT\\ & =(C_v+R)dT-\alpha dp\end{array}$$
      \)

    • ∙등압과정일 경우, $dp=0$이므로$$C_p={\left(\frac{dq}{dT}\right)}_p=C_v+R$$

• $dq=C_{p}dT-\alpha dp$

  • $p\alpha =RT\leftrightarrow \alpha =\frac{RT}{p}$ 이므로 

  • $dq=C_{p}dT-\frac{RT}{p}dp$ 로 변형가능

  • 온도(T)와 기압(p)이 측정되므로 기상학적으로 유용하다.

• $C_{\mathrm{v}}dT$는 $du$로 내부에너지의 변화량이고 반면, $C_{p}dT$는 엔탈피(Enthalpy)로 내부에너지의 변화량이 아니다.

 

[핵심이론 02] 단열과정과 온위

• ① 단열과정(Adiabatic Process)

  • ㉠ 정의 : 어떤 열도 잃거나 얻지 않은 상태에서 물체의 물리적 상태(압력, 체적, 기온)가 변화를 일으키는 과정이다.

  • ㉡ 단열과정에서의 열역학 제1법칙

  • $dq=C_{p}dT-\frac{RT}{P}dp$ -> 여기서 $p\alpha =RT\leftrightarrow \alpha =\frac{RT}{P}$ 임.

  • 여기서, 단열과정$(dq=0)$일 경우 $\frac{dT}{T}=\frac{R}{C_p}\frac{dp}{p}$ 가 된다.

  • 위 식을 변형하면

  • $$d\ln T=\frac{R}{C_p}d\ln P\leftrightarrow \frac{T}{T_0}={\left(\frac{P}{P_0}\right)}^{\kappa }$$

  • (여기서 $\kappa =R/C_p$ )

  • ∙따라서, $T=T_0{\left(\frac{P}{P_0}\right)}^{\kappa }$ 라는 식을 얻을 수 있다.

• ② 온위(Potential Temperature)

  • ㉠ 정의 : 공기덩어리는 단열적으로 표준기압 $P_0$ (보통 $1,000\mathrm{hPa}$)까지 하강 또는 상승시켰을 때의 온도이다.

  • ㉡ $T=T_0{\left(\frac{P}{P_0}\right)}^{\kappa }$ 으로부터 $P_0$는 1000hPa, $T_0=\theta$ 로 두면,  

  • 온위 $\theta =T{\left(\frac{1,000}{P}\right)}^{\kappa }$ : T = 캘빈온도, P = hPa

  • ㉢ 지구 온도 분포는 상층이 차고 하층이 덥지만 실제로 온위로 보면 상층의 온도가 높고 하층의 온도는 낮아 대기는 안정하다.

  • ㉣ 온위($\theta$)는 단열과정 동안에는 변하지 않는다(즉, 보존적이다).

  • ㉤ $\theta$는 공기의 Identification을 확인하는 데 이용된다.

 

[핵심이론 03] 엔트로피(Entropy)와 열역학 제2법칙

• 가역과정과 비가역과정

  • 가역과정 : 시스템의 모든 상태가 평형 상태에 놓여 있는 과정으로 이 과정을 다시 되돌릴 수 있어 시스템 (System)과 외계(Environment)를 처음 상태로 복귀 시킬 수 있는 과정 (ex : 습윤(포화) 단열과정 등)

  • 비가역과정 : 원래의 상태로 되돌아왔을 때, 처음 상태 의 조건이 변하는 과정이다. 즉, 팽창한 후 원래의 상태로 복귀하려면 이 기체를 처음 부피로 압축(일을 가함)하여야 하며, 그리고 이 압축된 기체를 처음 온도로 낮추기 위해 외부로 열을 내보내야 한다. 따라서 주위는 더 이상 처음 상태로 될 수가 없다. (ex : 위단열과정 등)

• 엔트로피(Entropy)

  • 열역학 제2법칙 : 열기관(Heat Engine)에 주어진 열 에너지가 모두 역학적 일로 전환될 수 없음을 의미한 다. 자연현상의 비가역적 방향성은 열역학 제법칙에 서 엔트로피라는 상태함수를 이용하여 설명 가능하다

  • 열역학 제1법칙과 제2법칙의 결합

    • 실제 자연현상을 간단히 하기 위해 대기 과학에서 일어나는 과정을 가역과정이라고 가정하면

    • $$\begin{array}{l}dq=C_{p}dT-\alpha dp\leftrightarrow \\ \frac{dq}{T}=C_p\frac{dT}{T}-R\frac{dp}{p}=C_{p}d\ln T-Rd\ln P\end{array}$$

    • 완전 미분의 정의에 따라 위의 식은 아래와 같이 쓸 수 있다.

    • $$\begin{array}{rl}\oint \frac{dq}{T}& =\oint C_{p}d\ln T-R\oint d\ln P\\ & =C_p[\ln T{]}_{T_i}^T-R[\ln P{]}_{P_i}^{P_f}=0\end{array}$$

    • $\therefore \oint \frac{dq}{T}=0$ : 이 선적분은 0이므로 $\frac{dq}{T}$ 는 완전미분이다.

    • 따라서 $\frac{dq}{T}=d\varphi$ 여기서, $\varphi$는 Specific Entropy라고 한다.

  • 온위와 엔트로피와의 관계

    • 온위 $\theta =T{\left(\frac{1,000}{P}\right)}^{R/C_p}$ 식을 양변에 $\ln$을 취해주고 미분하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

    • $$\begin{array}{l}\ln \theta =\ln T+R/C_p(\ln 1,000-\ln P)\\ \leftrightarrow d\ln \theta =d\ln T-R/C_{p}d\ln P\end{array}$$

    • (양변에 $C_p$를 곱해 주면)

    • $$C_{p}d\ln \theta =C_{p}d\ln T-Rd\ln P=\frac{dq}{T}=d\varphi$$

    • 따라서, $\varphi =C_p\ln \theta +\mathrm{const}$

    • 즉, 온위가 일정하게 유지되는 과정은 Entropy가 변하지 않는 과정이다. 따라서 단열과정은 등온위과정 (Isentropic Process)이다.

    • ※ 비가역과정에서 엔트로피는 사용할 수 없는 에너지 의 척도이며, “시스템의 무질서를 재는 척도”이다.