[강릉원주대 대기환경과학과] 2017년 1학기 전선 역해석 방법 과제물 (1)

 정보

• 업무명     : 2017년 1학기 전선 역해석 방법 과제물 (1)

• 작성자     : 이상호

• 작성일     : 2020-03-18

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 내용

[개요]

• 안녕하세요? 기상 연구 및 웹 개발을 담당하고 있는 해솔입니다. 

• 오늘은 대학원 석사 4학기에 배운 역해석 방법에 대한 내용을 다루고자 합니다. 

• 특히 배운 지식을 활용하여 각 주차별 발표 및 토의는 학술 논문 또는 보고서 작성 시 많은 도움이 되었습니다. 

• 주차별 과제물은 각 주제에 대한 발표로서 총 6회에 걸쳐 진행하였습니다.

• 오늘 포스팅 역해석 방법의 "과제물 1편"을 소개해 드리고자 합니다.

• 추가로 "과제물 2편"에 대한 링크를 보내드리오니 참고하시기 바랍니다.
  

[강릉원주대 대기환경과학과] 2017년 1학기 전선 역해석 방법 과제물 (2)

 

[특징]

• 역해석 방법 수업에 대한 이해를 돕기위해 작성

 

[기능]

• 과제물

  • 실생활에서 역행렬 및 역방향을 이용하여 변수를 찾는 사례

  • 복사 모델을 이용한 AOD를 산출 (역방향)
    

  • 복사 모델을 이용한 투과율 계산 (역방향)

  • 주성분 분석을 이용한 이미지 복원

• 소스 코드

• 관련 자료

 

[사용 OS]

• Windows 10

 

[사용 언어]

• Power Point 2018

• Fortran 90

• Gnuplot

 

 과제물

실생활에서 역행렬 및 역방향을 이용하여 변수를 찾는 사례

 

[정방향 및 역방향] 소개

• 서론

  • 과학 기술의 연구는 물리 시스템의 수치 모델을 구축하는데 전념하고 있음

  • 물리 시스템을 완벽히 설명이 되면 이러한 모델은 주위에 어떤 영향을 미치는 지를 예측할 수 있음. 이를 정방향 문제라고 하나 실제 시스템의 여러 측면을 모르기 때문에 역방향 문제로 해석해야 함

  • 정방향 문제와 역방향 문제는 인과 관계의 관점으로 생각됨

 

• 정방향 문제 (Forward Problem)

  • 원인에 따른 결과를 예측하는 과정

 

• 역방향 문제 (Inverse Problem)

  • 결과로부터 원인을 추론하는 과정

  • ill-posed 이기 때문에 역방향 문제는 풀기 어려움

  • 자료의 평가, 자료동화, 역방향 모델링이 사용되며 의학 및 기상학, 군사학 등에 분야에 활용됨

 

[정방향 및 역방향] 소개 (수학적 관점)

• well-posed ↔ ill-posed 

  • Hadamard에 의해 처음으로 정의되었으며 수학적 관점에서 정방향와 역방향 문제를 구분함

    1. 문제는 정답이 존재해야 한다

    2. 정답은 유일해야 한다

    3. 정답은 데이터를 조금 변경해도 안정적이고 지속적이어야 한다

  • 이와 같은 사항을 하나라도 어길 경우 ill-posed 문제가 됨

 

• 정방향 문제 (Forward Problem)

  • 특정 종의 드래곤을 보고 발자국을 아는 것은 쉬움

 

• 역방향 문제 (Inverse Problem)

  • 발자국으로부터 드래곤을 추론하는 것은 어렵고 Hadamard의 제 3 기준을 위반함

 

 

[정방향 및 역방향 활용 분야]

• 레이더

  • 기상 레이더는 마이크로파 주파수(5600-5650 MHZ)의 전자기파를 송신합니다. 이 전자기파는 빗방울, 눈송이, 우박 등의 장애물로부터 반사됩니다.

    • 정방향 문제 : 빗방울의 분포 및 속도를 아는 경우 반사된 신호를 결정합니다.

    • 역방향 문제 : 반사된 신호를 아는 경우 빗방울의 분포 및 속도를 결정합니다.

•  

 

 

• 비간섭 산란 레이더 (Incoherent Scatter Radar, ISR)은 전리층 연구 (오로라, 태양 폭풍의 영향, 우주 날씨)에 이용됨. 이 레이더는 고도 100-1000 km 분포되어 있는 플라즈마의 열적 운동으로부터 반사되어 나오는 후방산란을 이용함. 
  

• 지표 투과 레이더 (Ground Penetrating Radar, GPR)은 수 MHz-GHz 범위의 고주파 신호를 투과한 후 목표물의 탐지 및 위치를 파악함. 또한 이 장비는 지하 불균질에 대한 고분해능 영상을 연속적으로 얻을 수 있어 지하 내부 및 구조물에 내부 정도를 획득할 수 있음. 

 

 

• Computed  Tomography (CT) 
  

  • CT의 원리는 신체에 X선을 여러 각도로 쬐어 처음 쏜 X선 양과 투과된 X선 양의 차이를 측정하는 촬영기술임. 즉 뼈처럼 밀도가 높은 부분은 X선이 투과되지 않으나, 근육처럼 밀도가 낮은 부분은 많이 투과됨. 

  • X선 투과하는 영역에서 각각 흡수된 에너지를 모두 더한 값은X선의 전체에너지의 감쇄된 양과 동일한 법칙으로 연립일차방정식을세워 구할 수 있음. 
    

  • 예를 들면 ① x+t+2/3 h = A, ② y+t+5/7 w+3/4 r = B와 같이 표현됨. 

 

 

• 그러나 실제 병원에서 사용되는 첨단기기는 연립방정식보다 고차원적인 적분방정식으로 설계되며 더 선명하고 정밀한 결과를 얻음. 

• 이때 수학자 라돈의  “라돈 변환”을 이용하게 된다. 라돈은 일반적으로는 입체(x)를 단면으로 잘라 각 단면의 넓이(y)를 구한 뒤 그 합으로 입체의 부피를 구함.  

• 하지만 라돈은 이를 반대로 이용하였으며 그 결과 단면의 넓이(y)로부터 입체 모양(x)을 복원할 수 있는 “라돈 변환”을 발표함. 이를 통해 CT 촬영 후 내부에 흡수된 X선 양의 적분값을 구해 3차원으로 표현할 수 있음. 

• 이러한 원리는 CT, MRI, fMRI, 초음파 진단기 등 의학용 진단 장비에 널리 이용되고 있음. 

 

 

• 관측된 복사휘도로부터 대기 농도를 산출 

  • 2009년 1월에 발사하여 운용 중인 GOSAT (Greenhouse gases Observing SATellite)은 이산화탄소 등 온실가스 감시를 목적으로 제작된 최초의 위성관측기기임. 

  • GOSAT의 이산화탄소 칼럼 농도를 산출하는 과정은 MAP 방법을 이용하며  GOSAT의 원적외선 관측(y)으로부터 복원되며 MAP 방법을 이용함. 여기서 a priori 농도값은 NIES의 대기수송 모델에 의한 모의 값을 사용함. 

  • MAP 방법은 관측값과 수치모의 값과의 차이를 최소화되는 방법으로 최적화시킴. 즉 이 방법은 cost 함수값 (𝐽(𝑥))의 최소값을 갖는 𝑥을 찾는 과정임 (𝑦는 관측값, 𝐹(𝑥) 는 수치모의 결과, 𝑆_𝜀와 𝑆_𝑎는 각각 변수와 관계된 covariance matrix).

  • 전방향 문제 (Forward Problem)

    • 관측된 복사휘도 (x) > 연직 프로파일의 미량기체 농도 (y)

 

 

 

[정방향 및 역방향] 실습

• MODTRAN 복사모델 (전천, 직달, 산란) vs 옥상 관측 장비

  • 복사모델 모의

    • 𝑌 = 𝐹(𝑥)

    • 𝐹 : MODTRAN 복사전달모델 v5.3.2

    • 𝑥 : KLAPS 지표면와 연직 프로파일 자료 (공간분해능 : 5km, 시간 해상도: 매 시간), 태양 천정각, 이심률 보정 계수

    • 𝑌 : 전천, 직달, 산란 일사량 모의

  • 비교 분석 

    • 강릉원주대학교 옥상 관측 장비 중에서 Kipp&Zonen 社의 전천, 직달, 산란 일사량 자료

  • Model이 관측에 비해 크게 모의함. 이는 Model 설정 시 No aersol, No cloud로 하였기 때문에 높은 값을 보임.

  • 16-17시경 수목에 의한 차폐가 발생되기 때문에 관측값(전천)이 모델(직달)에 비해 낮음.

 

 

• 히마와리 8호 위성 (Himawari-8/AHI)을 이용한 대기 상단에서의 광대역 알베도 (TOA Albedo) 그리고 극 궤도 위성 (Terra/CERES)과의 비교 분석

  • 복사모델로부터 회귀계수 산출

    • 𝑥 = 𝐹(𝑌)

    • 𝐹 : SBDART 복사전달모델 v2.4

    • 𝑌 : 위성에서 관측된 복사휘도

    • 𝑥 : 대기 상단의 광대역 알베도

  • 비교 분석 

    • Terra/CERES 위성의 대기상단 광대역 알베도 자료

  • 두 그림은 서로 유사한 값과 공간 분포를 나타내나 구름 영역에서 AHI가 더 크다.

  • 이는 태양천정각 증가에 따른 오차와 시공간 해상도를 일치하는 과정에서의 오차로 판단됨.

 

복사 모델을 이용한 AOD를 산출 (역방향)

복사 모델을 이용한 투과율 계산 (역방향)

 

[복사 모델을 이용한 AOD 산출 (역방향)]

• 옥상 관측 자료 vs. 복사 모델

  • 옥상 관측 자료(전천 일사)를 참값으로 가정

  • 모델에서 AOD를 변화시켜 옥상 관측 자료와 잘 적합될 때의 AOD(550 nm)를 역방향으로 산출.

 

• AOD 비교 분석

  • AEROET 프로그램의 표준 장비는 340, 380, 440, 500, 675, 870, 1020 nm의 파장에서 직달 일사량 및 태양 주변광을 측정함.

  • 측정된 일사량을 수신하여 에어로솔의 광학적 깊이, 입자 크기 분포, 단일 산란 알베도 등을 계산함.

  • 모델에 의해 산출된 AOD 값과 비교하기 위해서 AERONET 자료를 550 nm 파장으로 계산함.

 

 

 

[복사모델을 이용한 투과율 계산 (역방향)]

• 각 층마다 투과율 계산 (모의 실험)

  • 복사모델을 이용하여 태양 천정각(22.5°, 45°, 67.5°)에 따른 20 km, 0 km에 도달하는 일사량 (아는 값)

  • 연립방정식을 이용하여 각 층마다 투과율 계산 (모르는 값)

  • 모델의 투과율 비교 분석

 

 

• 투과율 계산을 위한 전처리 과정

 

• 연립방정식와 복사모델 간의 비교

  • 연립방정식의 해를 구하기 위한 전처리 과정

 

 

• 연립방정식와 복사모델 간의 비교

  • 각 층마다, 전체 칼럼에 대한 투과율 결과

  • 태양 천정각이 커질수록 대기의 광학경로가 길어지기때문에 전체 칼럼에 대한 투과율은 낮음.

  • 하층에 대기성분이 많이 존재하기 때문에 상층보다는 하층의 투과율이 낮음.

  • 전체 칼럼에 대한 투과율은 유사하나 각 층에서 차이가 발생됨. 이러한 원인으로 연립방정식 3개 방정식만 사용하였기 때문으로 판단됨.

 

 

주성분 분석을 이용한 이미지 복원

 

• 주성분 설명

  • 다변량 분석기법으로서 주성분 분석 (Principal Component Analysis)은 원래 자료의 공분산 및 상관계수를 이용하여 서로 직교하는 변수들의 선형결합을 통해 차원을 단순화하여 해석하는 방법이다.  

  • 또한 이 기법은 이미지 인식, 자료 분류, 데이터 압축 및 통계 분야에서 변수 축소(Variable Reduction) 목적으로 1905년부터 지금까지 여러 분야에서 널리 활용되고 있다.

  • 주성분 분석을 위해 고유근 (Eigen Value)와 고유벡터 (Eigen Vector)에 대한 설명과 이해가 필요하다.  고유근와 고유벡터는 쌍으로 존재하고 고유근은 스칼라이며 고유벡터는 방향뿐만 아니라 어떤 방향에 어느정도의 분산 (Variance)을 설명해준다.  여기서 가장 큰 고유근을 가지는 고유벡터가 첫번째 주성분이 된다.

 

• 주성분 분석

  • 주성분 분석을 위해 그림 1와 같이 고양이 이미지 (차원 : 640 x 640 x 3, 크기 : 122.415 byte)와 위성 이미지 (차원 : 800 x 800 x 3, 크기 : 521.769 byte)를 사용하였다.  이미지를 RGB로 분리하고 각자 공분산 행렬로 변환을 통해 고유근과 고유벡터를 계산하였다.  또한 이 과정에서 고양이와 위성 이미지의 서로 독립적인 주성분들을 얻었다.

  • 고양이 이미지의 경우, 전체 640개의 주성분으로 단순화할 수 있었으며 2개의 주성분으로 전체 이미지의 분산을 80 % 이상을 설명할 수 있다 (그림 2-상부 참조).  첫번째와 두번째 주성분은 Red, Green, Blue 그리고 RGB 합성 이미지를 나타내었으며 (그림 3-상부 참조) 이러한 각 성분들을 누적하여 그림 4-상부 와 같이 나타내었다.  

  • 이 그림은 누적되는 주성분을 이미지로 복원시켰으며 누적 성분이 높을수록 원본과 비교하여 유사하게 나타나고 저장 용량은 감소됨을 보였다 (원본 이미지에 비해 -11.73 %).  그에 반해 위성 이미지는 전체 800개의 주성분 중에서 2개의 주성분으로 전체 분산을 80 % 이상을 설명되었고 앞서 고양이 이미지에 비하여 용량이 크게 압축되었다 (원본 이미지에 비해 -74.94 %).  

  • 결론적으로 주성분 분석은 이미지를 단순화하여 영상의 패턴을 해석하는데 유용할 뿐만 아니라 차원 감소 (3차원에서 2차원)로 인해 저장 용량을 크게 줄일 수 있다.

 

그림 1. 원본 이미지 (좌:고양이 이미지, 우:위성 이미지).

 

그림 2. Red, Green, Blue에 따른 각 주성분이 가지는 분산에 대한 설명 비율 (상부 3개:640개의 주성분 중에서 상위 10개 해당, 하부 3개:800개의 주성분 중에서 상위 10개 해당).

 

그림 3. 주성분 분석에서 얻어진 첫번째와 두번째 주성분이며 각각 Red, Green, Blue, RGB 합성 이미지를 포함 (상부 2개:고양이 이미지, 하부 2개:위성 이미지).

 

그림 4는 5, 10, 100, 640 성분을 누적한 이미지 (상부 4개:고양이 이미지, 하부 4개:위성 이미지).

 

• 고양이 이미지 애니메이션

 

• 위성 이미지 애니메이션

 

 소스 코드

• 추후에 링크 형식으로 추가 예정

 

 관련 자료

• 실생활에서 역행렬 및 역방향을 이용하여 변수를 찾는 사례

[역해석 방법] 실생활에서 역행렬 및 역방향을 이용하여 변수를 찾는 사례 from Lee Sang-Ho

 

• 복사 모델을 이용한 AOD를 산출 그리고 복사 모델을 이용한 투과율 계산 (역방향)

[역해석 방법] 복사 모델을 이용한 AOD를 산출 그리고 복사 모델을 이용한 투과율 계산 (역방향) from Lee Sang-Ho

 

• 주성분 분석을 이용한 이미지 복원

[역해석 방법] 주성분 분석을 이용한 이미지 복원 from Lee Sang-Ho

 

 참고 문헌

[논문]

• 없음

[보고서]

• 없음

[URL]

• 없음

 

 문의사항

[기상학/프로그래밍 언어]

• sangho.lee.1990@gmail.com

[해양학/천문학/빅데이터]

• saimang0804@gmail.com