[자격증] 기상감정기사 필기 : 4과목 기상통계 (가설검정과 추정)

 정보

• 업무명     :  4과목 기상통계 (가설검정과 추정)

• 작성자     : 박진만

• 작성일     : 2019-12-13

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 내용

[핵심이론 01] 점추정과 구간추정

• 표본으로부터 모집단의 특징이나 성격을 알아내고자 할 때, 이렇게 알아내고자 하는 값을 모수라고 한다. 이 모수에 대해 ‘어느 한 값으로 추정할 것인가?’ 또는 ‘어느 구간에 들어 있을 것인가?’에 따라 점추정과 구간추정으로 나뉜다.

• 점추정

  • 정 의

    • 모수값을 추정함에 있어 표본으로부터 얻은 통계량 으로 추정하는 것을 말한다.

    • 모수에 가장 좋은 단일 추정값을 제공하는 데 그 초 점을 두고 있다.

  • 미지의 모수 $\theta$에 관한 정보를 얻기 위해 확률표본 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$을 선택하였다.

  • 확률표본 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$의 관찰값 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$을 이용하여 미지의 모수 $\theta$의 값을 추정하려 한다.

  • 모수 $\theta$를 추정하기 위해 사용한 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$의 함수 $U(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$를 $\theta$의 추정량(Estimator) 이라 정의하고, 통상적으로 $\theta$에 가까운 값인 $U(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$을 $\theta$의 추정값(Estimate)이라 부른다.

  • 이와 같이 미지의 모수 $\theta$에 관하여 어느 한 값만을 추정하므로 점추정(Point Estimation)이라 한다.

  • 예를 들어 표본평균은 모평균의, 표본비율은 모비율의 점추정량이라 할 수 있다.

• 구간추정

  • 모집단의 모수인 모평균 $\mu$, 모비율 $p$, 모분산 ${\sigma }^2$ 등에 대한 구간추정에 대하여 알아보자.

  • 모평균의 구간추정

    • 평균 $\mu$, 분산 ${\sigma }^2$ 인 모집단에서 확률표본 $X_1,\cdots ,X_n$을 추출하였을 때, 모평균 $\mu$의 $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$신뢰구간은 다음과 같다.

      • 모집단이 정규분포이고, 모분산 ${\sigma }^2$이 기지일 때

        • $(\overline{X}-Z_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{X}+\frac{Z_{\alpha }}{2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

      • 모집단이 정규분포이고, 모분산  ${\sigma }^2$이 미지일 때

        • $(\overline{X}-t(n-1:\frac{\alpha }{2})\frac{s}{\sqrt{n}}$

          $\overline{X}+t(n-1:\frac{\alpha }{2})\frac{s}{\sqrt{n}})$

      • 표본크기 $n$이 큰 경우

        • $(\overline{X}-Z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{s}{\sqrt{n}},\overline{X}+Z_{\frac{\alpha }{2}}\frac{s}{\sqrt{n}})$

      • 모수값이 존재할 수 있는 범위를 특정 확률 조건에서 나타낸 것을 말한다.

      • 이때 특정확률 조건을 신뢰도라 하며 실제 모수값이 존재할 수 있는 범위를 신뢰구간이라 한다.

      • 신뢰구간의 크기는 작을수록, 신뢰도는 높을수록 정밀한 추정이다.

  • 모비율의 구간추정 : 표본크기 $n$이 충분히 클 경우, 모비율 $p$의 $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 신뢰구간은 다음과 같다.

    • $(\hat{p}-Z_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\hat{p}+Z_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}})$

  • 모분산의 구간추정 : 모집단이 정규분포를 할 때, 모분산 ${\sigma }^2$의 $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$신뢰구간

    • $(\frac{(n-1)S^2}{{\chi }^2(n-1:\frac{\alpha }{2})},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }^2(n-1:1-\frac{\alpha }{2})})$

 

[핵심이론 02] 가설검정의 절차 및 오류

• 통계적 가설검정 또는 검정

  • 모집단의 미지의 모수에 대한 주장, 추론 또는 예측 등을 모집단에서 추출한 표본에 근거하여 어떤 결정을 내리는 과정

  • 다음과 같은 가설을 세운다.

    • $H_0:\mu =340vs{H}_1:\mu \ne 340$

    • 여기에서 $H_0$를 귀무가설(Null Hypothesis), $H_1$을 귀무가설에 대한 대립가설(Alternative Hypothesis) 이라 한다. 귀무가설 $H_0$는 대립가설과 상반되는 것으로, 모수 간에 차이가 없거나 관련성이 없는 경우 를 지칭하는 경우가 많다.

    • 귀무가설을 기각할 만한 충분한 이유가 있어야만 귀 무가설을 기각하여 대립가설을 채택하게 되므로, 귀무가설을 기각하지 않았더라도 꼭 귀무가설이 옳다 는 검정을 한 것은 아니다.

    • 귀무가설을 기각하거나 채택할 때 사용하는 통계 량을 검정통계량(Test Statistic)이라 한다. 귀무 가설 $H_0$를 기각하는 검정통계량의 영역을 기각역 (Rejection Region) 또는 위험역(Critical Region), 그렇지 않은 영역을 채택역(Acceptance Region)이 라 한다.

    • 가설검정의 결과는 $H_0$를 채택하거나 또는 기각하는 것밖에 없다. 따라서 표본에 근거하여 내린 결정에는 다음과 같은 두 가지 오류의 가능성이 있다. 즉, 귀무 가설 $H_0$가 참인데도 불구하고 $H_0$를 기각하거나, $H_0$가 거짓임에도 $H_0$를 기각하지 않는 경우이다.

    

  • 이상적인 가설검정법은 제1종 오류(Type Ⅰ Error)와 제2종 오류(Type Ⅱ Error)를 모두 범하지 않거나 또는 두 종류의 오류를 범할 확률을 동시에 줄이는 것이다. 그렇지만 표본크기가 일정할 때 제1종 오류의 가능성을 줄이면 제2종 오류의 가능성이 커지므로 두 오류의 가능성을 동시에 줄일 수는 없다. 따라서 제1종 오류만 관리하여 귀무가설 $H_0$가 참일 때 이를 기각하는 확률을 지정하여 지정된 확률 이하인 검정법을 찾는 방법을 사용한다. 제1종 오류를 범할 확률의 허용한계를 유의수준(Significance Level)이라 하며, 흔히 $\alpha$로 나타낸다. 유의수준 $\alpha$의 값으로 주로 0.05 또는 0.01을 사용한 다. 또한 P-값(P-value)이란 주어진 관측자료에 대 하여 귀무가설 $H_0$하에서 귀무가설을 기각하는 가장 작은 유의수준을 일컬으며 P-값이 작을수록 $H_0$에 대 한 반증이 강함을 의미한다.

  • ex) : P-값 ≤ $\alpha$이면, $H_0$를 기각한다.

  • 제1종 오류 : 귀무가설 $H_0$가 사실일 때 $H_0$를 기각 하는 오류

  • 제2종 오류 : 대립가설 $H_1$이 사실일 때 $H_0$를 기각 하지 못하는 오류

  • 유의수준 : 제1종 오류를 범할 확률의 최댓값

• 가설검정의 절차

  • 귀무가설 $H_0$과 대립가설 $H_1$의 설정

  • 유의수준의 결정

  • $H_0$의 채택역과 위험역(기각역, Critical Region)의 결정

  • 검정통계량의 계산

  • 검정통계량과 위험역의 비교 및 결론

• 가설검정의 오류

  • 가설검정을 시행할 때는 두 가지 경우의 오류를 범할 수 있다.

    • 제1종 오류(Type Ⅰ Error) : 올바른 가설을 기각시키는 경우

    • 제2종 오류(Type Ⅱ Error) : 그릇된 가설을 채택하는 경우

 

 참고 문헌

[논문]

• 없음

[보고서]

• 없음

[URL]

• 없음

 

문의사항

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[해양학/천문학/빅데이터]

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