[자격증] 기상감정기사 필기 : 4과목 기상통계 (도수분포와 확률)

 정보

• 업무명     :  4과목 기상통계 (도수분포와 확률)

• 작성자     : 박진만

• 작성일     : 2019-12-13

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 내용

[핵심이론 01] 도수분포

• 도수분포표(Frequency (Distribution) Table)

  • 각 수준의 빈도를 구하여 정리한 표로 다음 항목들을 포함한다.

    • 빈도(Frequency) : 각 값이 자료에 나타난 횟수

    • 상대빈도(Relative Frequency) : 총 빈도 가운데 각 값 의 빈도가 차지하는 비율

    • 누적빈도(Cumulative Frequency) : 그 값까지의 빈도의 합

    • 누적상대빈도(Cumulative Relative Frequency) : 그 값까지의 상대빈도의 합

• 히스토그램(Histogram)

  • 양적 자료의 도수분포표를 막대로 나타낸 그림이다.

  • 막대의 축척(Scale)에 의한 히스토그램의 유형

    • 빈도 히스토그램은 막대의 높이가 빈도이다.

    • 상대빈도(또는 백분율) 히스토그램은 막대의 높이가 상 대빈도(또는 백분율)이다. 특히 밀도 히스토그램은 막대 의 면적이 그 계급의 상대빈도이며, 이는 크기가 서로 다른 자료 집합들의 분포를 비교하기에 좋다. 백분율 히 스토그램은 막대의 면적이 그 계급의 백분율이 되도록 한 것이다. 밀도 히스토그램과 백분율 히스토그램은 세 로축의 축척만 다를 뿐 동일한 형상을 가진다. 히스토그 램은 높이가 아니라 면적으로 양을 나타낸다는 점에서 막대그래프와 다르다.

• 줄기그림(Stem Plot)

  • 히스토그램과 마찬가지로 양적 자료의 전체적인 분포 형 태를 보여 주는데, 히스토그램과 달리 막대 대신에 실제 숫자를 사용한다.

    • 줄기(Stem) : 각 가로줄

    • 잎(Leaf) : 각 가로줄의 숫자

    • 깊이(Depth) : 상향 순위와 하향 순위 중 작은 값 줄기 폭을 조절함으로써 자료의 분포 형태를 잘 나타내는 줄 기그림을 얻을 수 있다. 줄기 폭으로 가능한 값은 1, 2, 5나 이들에 \(10^{k}\)를 곱한 값들이다(여기에서 k ＝±1, ±2, …).

 

[핵심이론 02] 대표값

• 일변량(양적) 자료 분포의 몇몇 특성값(대표값, 산포도 등)들을 살펴보자.

  • 기 호

    • 원자료 :  \(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\)

    • 순서화된 자료 :  \(x_{(1)}, x_{(2)}, \dots, x_{(n)}\)

• 중심 위치 측도

  • 중심 위치의 측도는 대표값이라고도 부른다. 중심 위치의 측도들 가운데 평균, 중앙값, 최빈값 그리고 조화평균을 중심으로 살펴본다. 크기가 n＝10인 아래의 자료를 사용한다.

  • * 자료의 예시 : (-7 -5 -4 -4 -1 2 2 2 6 9) 를 사용한다고 가정하자.

  • 평균(Mean) \(\bar{x}\)

    • 평균은 보통 산술평균(Arithmetic Average)이라고도 부르며, 다음과 같이 정의한다.

    • \(\bar{x}=\sum_{i} x_{i} / n\)

    • 평균은 균형점, 즉 자료의 무게 중심(Balance Point, Center Of Gravity)이다.

    • 평균은 제곱편차합을 최소화한다.

    • ex) 위의 자료로부터 -> \(\bar{x}=(0) / 10=0\)

  • 중앙값(Median) \(\tilde{x}\)

    • 순서화된 자료에서 가운데 위치하는 값, 즉 \(\frac{n+1}{2}\)번째 값이다.

    • \(\tilde{x}=x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}\)

    • 만일 \(n\)이 홀수이면 중앙값은 가운데 값이고, 짝수이면 가운데 두 값들의 평균이다.

    • 중앙값은 면적의 이등분점(Equal−areas 'Point)이다.

    • ex) 위의 자료에서, \(\tilde{x}=x_{\left(\frac{1+10}{2}\right)}=x_{(5.5)}=0.5\)

    • \(\left(x_{(5)}+x_{(6)}\right)=0.5(-1+2)=0.5(1)=0.5\)

  • 최빈값(Mode) \(\check{x}\)

    • 가장 빈도가 높은 값이다. 즉 최빈값은 빈도곡선에서 가장 높은 봉우리에 해당하는 값이다. 따라서 최빈값 은 여러 개가 될 수도 있다.

    • ex) 위의 자료에서, \(\check{x}=2\)

  • 절단평균(Trimmed Mean)

    • \(p \%\) 절단평균이란 순서화된 자료의 양쪽에서 각각 \(p \%\) 에 해당하는 극단값들을 잘라낸 뒤 구한 평균을 뜻한 다. 평균이 이상값(outliers)에 민감하게 반응하는 것 을 완화시키기 위한 것이다. 체조 심사 점수는 대개 20% 절단평균이다.

    • ex) 위의 자료에서, 20% 절단평균＝\((-4-4-1+2\)\(+2+2) / 6=(-3) / 6=-0.5\)

  • 조화평균(Farmonic Mean)

    • 조화평균 \(\bar{x}_{H}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{k} \frac{1}{x_{i}}}\) 또는 \(\frac{1}{\bar{x}_{H}}=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{k} \frac{1}{x_{i}}\right)\)

    • 조화평균은 변화율(Rates Of Change)로 이루어진 자료의 평균으로 적절하다.

    • 변화율 자료의 예 : 주행속도, (시간당) 생산율, 완수 (주행)시간

    • 조화평균도 산술평균에 비해 이상값들의 영향을 적게 받는다. 따라서 조화평균도 오른쪽으로 꼬리를 뻗은 분포의 평균으로 유용하다.

• 상대적 위치측도

  • 백분위수를 중심으로 자료 분포에서 상대적 위치를 나타내는 측도를 살펴보자

  • 백분위수(Percentiles) \(P_{c}\)

    • 자료를 백등분하는 값들로, 제\(c\)백분위수 \(P_{c}\)는 순서화 된 자료에서 c % 이상이 그 값보다 같거나 작고, (100- c)% 이상이 그 값보다 같거나 큰 값을 말한다.

  • 사분위수(Quartiles) \(Q_{c}\)

    • 자료를 사등분하는 세 개의 값들로, 백분위수와는 다음 관계가 있다.

    • \(Q_{1}=P_{25}, \quad Q_{2}=P_{50}=\tilde{x}, \quad Q_{3}=P_{75}\)

    • ex) 위의 자료에서, 사분위수를 각각 구하는 경우

    • \(Q_{1}=-4\),\(Q_{2}=0.5\),\(Q_{1}=2\)

 

[핵심이론 03] 산포도

• 자료의 (중심)위치가 파악되었다면, 자료가 중심에서 얼마나 떨어져 있는가에 관심을 가진다. 이를 산포도(Measure Of Dispersion)라 한다. 먼저 편차(Deviation)는 자료값과 어떤 중심과의 차이를 말하는데, 중심으로는 흔히 평균이 사용된다.

• 평균에서의 편차 : \(d_{i}=x_{i}-\bar{x}\)

• 평균에서의 편차는 그냥 편차라고 부른다. 산포도는 이런 편차들이 얼마나 큰가에 관한 것이다. 다음에 몇몇 산포도들을 제시하였다. 크기가 n＝10인 다음의 자료를 사용한다.

• * 자료의 예시 : (-7 -5 -4 -4 -1 2 2 2 6 9) 을 사용한다고 가정하자

• ① 범위(Range)

  • 자료의 너비이다. 즉 자료의 최댓값에서 최솟값을 뺀 값이다.

  • \(R=x_{(n)}-x_{(1)}\)

• ② 사분위수 범위(Interquartile Range)

  • 사분위수들의 너비이다.

  • \(I Q R=Q_{3}-Q_{1}\)

  • ex) 위의 자료로부터, 

  • \(R=x_{(10)}-x_{(1)}=9-(-7)=16\)

    \(I Q R=Q_{3}-Q_{1}=2-(-4)=6\)

• ③ 분산(Variance)

  • 분산은 편차제곱들의 평균이다.

  • ㉠ 표본분산(Sample Variance)

    • \(s^{2}=\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} /(n-1)=\sum\left(x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}\right) /(n-1)\)

    • 표본분산 \(s^{2}\)의 정의에서 분모 (n-1)은 자유도 (Degrees Of Freedom, DF) 이다.

    • 이는 (분자인 제곱합 항에 사용된 편차들의 정보량－자유로운 차원의 수) 를 나타낸다.

• ④ 표준편차(Standard Deviation)

  • 표준편차는 분산의 단위를 자료의 측정 단위로 환원시키기 위해 분산에 양의 제곱근을 취한 것이다.

  • ㉠ 표본표준편차(Sample Standard Deviation)

    • \(s=\sqrt{s^{2}}\)

• ⑤ 상자그림(Boxplot)

  • 사분위수들 그리고 양쪽 끝 값들 (\(x_{(1)}, Q_{1}, \tilde{x}, Q_{3}, x_{(n)}\)) 을 묶어서 다음과 같이 상자와 수염으로 나타냄으로써 자료 분포의 특징을 시각적으로 파악할 수 있다.

 

 

 

 

 참고 문헌

[논문]

• 없음

[보고서]

• 없음

[URL]

• 없음

 

문의사항

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[해양학/천문학/빅데이터]

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