[자격증] 기상기사 필기: 2과목 대기열역학 (열역학 법칙)

 정보

• 업무명     : 기상기사 핵심이론 소개

• 작성자     : 박진만

• 작성일     : 2019-12-07

• 설   명     :

• 수정이력 :

 

 내용

[핵심이론 01] 열역학 제 1 법칙

• 열역학 제1법칙

• \(d Q=d U+d W \Rightarrow d q=d u+d w \) (단위 질량에 대해 고려할 경우)

  • 기체로 이루어진 어떤 계에 열에너지 \(d Q\)가 가해질 경우, \(d U\)는 계의 내부에너지(Internal Energy)의 증가, \(d W\)는 계가 주위에 한 일의 양을 나타낸다. 즉, 열역학 제1법칙은 에너지 보존과 열이 역학적 에너지 로 전환됨을 기술

  • \(d W\)를 단위 질량에 대한 일 \(d w=\frac{d W}{m}\) 으로 나타내면 다음과 같다.

  • \( d w=p d \alpha(d w>0) \) : 계가 주위에 대해서 일을 한 경우, \(d w<0 \) : 반대의 경우를 나타냄) ⇒ 위의 열역학 제1법칙 식에 대입하면

    $$ d q=d u+p d \alpha $$

• 비열의 2가지 종류

  • 정적 비열\( \left(C_{v}\right) \) : 물질의 체적이 일정한 상태에서의 비 열. 즉, 팽창을 허용하지 않는 상태

    $$
    C_{v} \equiv\left(\frac{d q}{d T}\right)_{\alpha=\operatorname{const}} \cong 717 \mathrm{J} / \mathrm{kg} / \mathrm{K}
    $$

  • 정압 비열\( \left(C_{p}\right) \) : 물질의 기압이 일정한 상태에서의 비열. 즉, 팽창을 허용한 상태

    $$
    C_{p} \equiv\left(\frac{d q}{d T}\right)_{p: \text { const }} \cong 1,004 \mathrm{J} / \mathrm{kg} / \mathrm{K}
    $$

  • ※ 항상 \(C_{p}>C_{v} \) : 등압 과정 하에서는 가하여진 열의 일부가 주위로 행하는 데 소요되는 반면, 등적 과정 하에서는 모든 열이 그 기체의 온도를 올리는 데 사 용될 수 있기 때문이다.

• 이상기체에 대한 열역학 제1법칙

  • \( d q=C_{v} d T+p d \alpha \)

    • 이상기체 상태방정식 \(p \alpha=R T \)를 미분하면

    • \(p d \alpha+\alpha d p=R d T \) (대입)

      \( 
      \begin{aligned} \Rightarrow d q &=C_{v} d T-\alpha d p+R d T \\ &=\left(C_{v}+R\right) d T-\alpha d p \end{aligned}
      \)

    • ∙등압과정일 경우, \(d p=0 \)이므로$$ C_{p}=\left(\frac{d q}{d T}\right)_{p}=C_{v}+R $$

• \(d q=C_{p} d T-\alpha d p \)

  • \( p \alpha=R T \leftrightarrow \alpha=\frac{R T}{p} \) 이므로 

  • \(d q=C_{p} d T-\frac{R T}{p} d p \) 로 변형가능

  • 온도(T)와 기압(p)이 측정되므로 기상학적으로 유용하다.

• \(C_{\mathrm{v}} d T \)는 \(d u \)로 내부에너지의 변화량이고 반면, \(C_{p} d T \)는 엔탈피(Enthalpy)로 내부에너지의 변화량이 아니다.

 

[핵심이론 02] 단열과정과 온위

• ① 단열과정(Adiabatic Process)

  • ㉠ 정의 : 어떤 열도 잃거나 얻지 않은 상태에서 물체의 물리적 상태(압력, 체적, 기온)가 변화를 일으키는 과정이다.

  • ㉡ 단열과정에서의 열역학 제1법칙

  • \(d q=C_{p} d T-\frac{R T}{P} d p \) -> 여기서 \(p \alpha=R T \leftrightarrow \alpha=\frac{R T}{P}\) 임.

  • 여기서, 단열과정\((d q=0)\)일 경우 \(\frac{d T}{T}=\frac{R}{C_{p}} \frac{d p}{p}\) 가 된다.

  • 위 식을 변형하면

  • $$ d \ln T=\frac{R}{C_{p}} d \ln P \leftrightarrow \frac{T}{T_{0}}=\left(\frac{P}{P_{0}}\right)^{\kappa} $$

  • (여기서 \(\kappa=R / C_{p}\) )

  • ∙따라서, \(T=T_{0}\left(\frac{P}{P_{0}}\right)^{\kappa}\) 라는 식을 얻을 수 있다.

• ② 온위(Potential Temperature)

  • ㉠ 정의 : 공기덩어리는 단열적으로 표준기압 \(P_{0}\) (보통 \(1,000 \mathrm{hPa}\))까지 하강 또는 상승시켰을 때의 온도이다.

  • ㉡ \(T=T_{0}\left(\frac{P}{P_{0}}\right)^{\kappa}\) 으로부터 \(P_{0}\)는 1000hPa, \(T_{0}=\theta\) 로 두면,  

  • 온위 \(\theta=T\left(\frac{1,000}{P}\right)^{\kappa}\) : T = 캘빈온도, P = hPa

  • ㉢ 지구 온도 분포는 상층이 차고 하층이 덥지만 실제로 온위로 보면 상층의 온도가 높고 하층의 온도는 낮아 대기는 안정하다.

  • ㉣ 온위(\(\theta\))는 단열과정 동안에는 변하지 않는다(즉, 보존적이다).

  • ㉤ \(\theta\)는 공기의 Identification을 확인하는 데 이용된다.

 

[핵심이론 03] 엔트로피(Entropy)와 열역학 제2법칙

• 가역과정과 비가역과정

  • 가역과정 : 시스템의 모든 상태가 평형 상태에 놓여 있는 과정으로 이 과정을 다시 되돌릴 수 있어 시스템 (System)과 외계(Environment)를 처음 상태로 복귀 시킬 수 있는 과정 (ex : 습윤(포화) 단열과정 등)

  • 비가역과정 : 원래의 상태로 되돌아왔을 때, 처음 상태 의 조건이 변하는 과정이다. 즉, 팽창한 후 원래의 상태로 복귀하려면 이 기체를 처음 부피로 압축(일을 가함)하여야 하며, 그리고 이 압축된 기체를 처음 온도로 낮추기 위해 외부로 열을 내보내야 한다. 따라서 주위는 더 이상 처음 상태로 될 수가 없다. (ex : 위단열과정 등)

• 엔트로피(Entropy)

  • 열역학 제2법칙 : 열기관(Heat Engine)에 주어진 열 에너지가 모두 역학적 일로 전환될 수 없음을 의미한 다. 자연현상의 비가역적 방향성은 열역학 제법칙에 서 엔트로피라는 상태함수를 이용하여 설명 가능하다

  • 열역학 제1법칙과 제2법칙의 결합

    • 실제 자연현상을 간단히 하기 위해 대기 과학에서 일어나는 과정을 가역과정이라고 가정하면

    • \begin{array}{l}{d q=C_{p} d T-\alpha d p \leftrightarrow} \\ {\frac{d q}{T}=C_{p} \frac{d T}{T}-R \frac{d p}{p}=C_{p} d \ln T-R d \ln P}\end{array}

    • 완전 미분의 정의에 따라 위의 식은 아래와 같이 쓸 수 있다.

    • \begin{aligned} \oint \frac{d q}{T} &=\oint C_{p} d \ln T-R \oint d \ln P \\ &=C_{p}[\ln T]_{T_{i}}^{T}-R[\ln P]_{P_{i}}^{P_{f}}=0 \end{aligned}

    • \(\therefore \oint \frac{d q}{T}=0\) : 이 선적분은 0이므로 \(\frac{d q}{T}\) 는 완전미분이다.

    • 따라서 \(\frac{d q}{T}=d \phi\) 여기서, \(\phi\)는 Specific Entropy라고 한다.

  • 온위와 엔트로피와의 관계

    • 온위 \(\theta=T\left(\frac{1,000}{P}\right)^{R / C_{p}}\) 식을 양변에 \(\ln\)을 취해주고 미분하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

    • \begin{array}{l}{\ln \theta=\ln T+R / C_{p}(\ln 1,000-\ln P)} \\ {\leftrightarrow d \ln \theta=d \ln T-R / C_{p} d \ln P}\end{array}

    • (양변에 \(C_{p}\)를 곱해 주면)

    • $$ C_{p} d \ln \theta=C_{p} d \ln T-R d \ln P=\frac{d q}{T}=d \phi $$

    • 따라서, \(\phi=C_{p} \ln \theta+\mathrm{const}\)

    • 즉, 온위가 일정하게 유지되는 과정은 Entropy가 변하지 않는 과정이다. 따라서 단열과정은 등온위과정 (Isentropic Process)이다.

    • ※ 비가역과정에서 엔트로피는 사용할 수 없는 에너지 의 척도이며, “시스템의 무질서를 재는 척도”이다.